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整式

（問題）
f(x)は(n-1)次（n>1）の多項式とする。
f(1)=1,f(2)=\frac{1}{2}, \cdots ,f(n)=\frac{1}{n}
を全て満たすとき、f(n+1)を求めよ。
（もとの問題はn=6としたもの）

（解答）
x=1,2,\cdots,nに対してf(x)=\frac{1}{x}が成り立つので、
xf(x)-1=0
xf(x)-1は高々n次の多項式であり、因数定理により、
x-1,x-2,\cdots,x-nを因数に持つので、
xf(x)-1=a(x-1)(x-2)\cdots(x-n)・・・(1)（aは定数）
と書ける。
(1)にx=0を代入して、
-1=(-1)^n \cdot n! \cdot a
∴a=\frac{(-1)^{n+1}}{n!}
(1)にx=0を代入して、
(n+1)f(n+1)-1=n! \cdot a=(-1)^{n+1}
∴f(n+1)=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}
（もとの問題では、n=6なので、f(7)=0）