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三角関数

（１）次の等式を証明せよ｡
\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta


（２）次の等式を証明せよ｡
\frac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta}=\tan\theta


（３）次の等式を証明せよ｡
\frac{1+\sin\theta-\cos\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta}=\tan \left(\frac{\theta}{2} \right)



（証明）
（１）
\tan^2 \left( 1-\sin^2 \theta \right)=\tan^2 \theta \cos^2 \theta=\sin^2\theta
移項して、
\tan^2\theta -\sin^2\theta =\tan^2 \theta \sin^2 \theta・・・（証明終）


（２）
\sin2\thetaと\cos2\thetaに倍角の公式を適用してより
\frac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta}
=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^2\theta}
=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
=\tan\theta・・・（証明終）


（３）
\sin\thetaに倍角（\theta/2の）の公式を1+\cos\thetaと1-\cos\thetaに半角の公式を適用して
\frac{1+\sin\theta-\cos\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta}
=\frac{2\sin^2(\theta/2)+2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)+2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}
=\frac{2\sin(\theta/2)\{\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)\}}{2\cos(\theta/2)\{\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)\}}
=\frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}
=\tan \left(\frac{\theta}{2} \right)・・・（証明終）


（自称）「小細工」におぼれた証明は
http://s02.megalodon.jp/2009-1116-1253-07/imai927.web.fc2.com/kou/kou2/cst/no0700.html