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不等式

a,b,c,d>0のとき、
\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} \ge \frac{8}{(a+c)(b+d)}
を証明せよ。


（解法例１）某サイトでの解答

\left{ \frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} - \frac{8}{(a+c)(b+d)} \right} abcd(a+c)(b+d)
=\left{ \frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} - \frac{8}{(a+c)(b+d)} \right} abcd(a+c)(b+d)
=cd(a+c)(b+d)+ab(a+c)(b+d)-8abcd
=cd(ab+ad+cb+cd)+ab(ab+ad+cb+cd)-8abcd
=cdab+cd^2a+c^2db+c^2d^2+a^2b^2+a^2bd+ab^2c+abcd-8abcd
=cd^2a+c^2db+c^2d^2+a^2b^2+a^2bd+ab^2c-6abcd
=(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)+(a^2bd-2abcd+c^2db)+(ab^2c-2abcd+cd^2a)
=(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)+bd(a^2-2ac+c^2)+ca(b^2-2bd+d^2)
=(ab-cd)^2+bd(a-c)^2+ca(b-d)^2 \ge 0


\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} - \frac{8}{(a+c)(b+d)} \ge 0
（∵　条件より、a,b,c,d>0であるから、abcd(a+c)(b+d)>0
∴　 \frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} \ge \frac{8}{(a+c)(b+d)} 等号は a=c,b=dのとき成立する。(q.e.d.)


別に間違いではないのですが、力技に頼って計算間違いのリスクを高くしています。


（解答例２）
\frac{a}{c}=p,\frac{b}{d}=qとおくとp,q>0

\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} - \frac{8}{(a+c)(b+d)}=\frac{1}{cd}\left{ \frac{1}{pq}+1 - \frac{8}{(p+1)(q+1)}\right}
ここで、
\frac{1}{pq}+1 - \frac{8}{(p+1)(q+1)}
= \frac{1}{pq}+1 - \frac{8}{pq+p+q+1}
\ge \frac{1}{pq}+1 - \frac{8}{pq+2\sqrt{pq}+1}（∵相加・相乗平均の関係より。等号はp=qのとき）
= \frac{x^2+1}{x^2} - \frac{8}{(x+1)^2} （ただしx=\sqrt{pq}>0）
= \frac{(x^2+1)(x+1)^2-8x^2}{x^2(x+1)^2}
= \frac{(x-1)^2(x^2+4x+1)}{x^2(x+1)^2}
ここで、
x>0のとき、x+1>0,x^2+4x+1>0なので、
\frac{(x-1)^2(x^2+4x+1)}{x^2(x+1)^2} \ge 0 （等号はx=1のとき）

∴　 \frac{1}{ab}+\frac{1}{cd} \ge \frac{8}{(a+c)(b+d)} 等号は p=q=1つまりa=c,b=dのとき成立する。(q.e.d.)