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平面ベクトル

（問題）
\rm{A,B,C,D}を平面上の異なる4点とする。
(1)同じ平面上の点\rm{P}が下記関係を満足するとき\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}と\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}の内積を求めよ。
|\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}+\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}|^2=|\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}|^2+|\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}|^2
(2)上記の関係を満たす点\rm{P}の軌跡はどのような図形か
(3) (2)で求めた図形が1点のみからなるとき、四角形\rm{ACBD}は平行四辺形であることを示せ。

（解答）
(1)\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}=\vec{a},\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}=\vec{b}とおく。
もとの関係式は、
|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
とかける。
これより、
|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
なので、
\vec{a}\cdot\vec{b}=0・・・（答）
(2)
\rm{AB}及び\rm{CD}の中点をそれぞれ\rm{M,N}とし、原点を\rm{O}とすると、
\vec{\rm{OA}}+\vec{\rm{OB}}=2\vec{\rm{OM}}
\vec{\rm{OC}}+\vec{\rm{OD}}=2\vec{\rm{ON}}
なので、
\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}=\vec{\rm{OA}}+\vec{\rm{OB}}+2\vec{\rm{PO}}=2\vec{\rm{OM}}+2\vec{\rm{PO}}=2\vec{\rm{PM}}
\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}=2\vec{\rm{PN}}
これと上記(1)の結果より、
\vec{\rm{PM}}\cdot\vec{\rm{PN}}=0
∴\rm{PM}\bot\rm{PN}
つまり、\rm{P}は、\rm{AB}の中点\rm{M}と\rm{CD}の中点\rm{N}を直径とする円周になる。・・・（答）
(3)上記(2)の図形が1点のみからなるので\rm{M=N}
つまり、\rm{ACBD}は対角線\rm{AB}と\rm{CD}がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形
・・・（証終）

最後の部分については、例えば
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%BA%E5%BD%A2
をご参照ください。