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積分

（問題）
1つのサイコロを投げてnの目が出たら
曲線y=(\sin x)^{[ n/3 ] +1}(0 \le x \le 2\pi)を描く。
このサイコロを2回投げて描かれる2つの曲線で囲まれた部分の面積をSとする。ただし、2つの曲線が同じときは、S=0とし、[ a ] はaを超えない最大の整数を表すものとする。このとき次の問いに答えよ。
(a)Sの取りうる値を求めよ。
(b)S=0となる確率を求めよ。
(c)Sの期待値を求めよ。

（解答）
(a)[ n/3 ] +1の取りうる値は、1,2,3のいずれかであるので、
Sの取りうる値は、0,S_1=S_{11}+S_{12},S_2=S_{21}+S_{22},S_3=S_{31}+S_{32}のいずれかである。
ここで、
S_{11} : y=\sin xとy=\sin ^2 x(0 \le x \le \pi)で囲まれた部分の面積
S_{12} : y=\sin xとy=\sin ^2 x(\pi \le x \le 2\pi)で囲まれた部分の面積
S_{21} : y=\sin xとy=\sin ^3 x(0 \le x \le \pi)で囲まれた部分の面積
S_{22} : y=\sin xとy=\sin ^3 x(\pi \le x \le 2\pi)で囲まれた部分の面積
S_{31} : y=\sin ^2 xとy=\sin ^3 x(0 \le x \le 2\pi)で囲まれた部分の面積
S_{32} : y=\sin ^2 xとy=\sin ^3 x(0 \le x \le 2\pi)で囲まれた部分の面積
である。
以下、S_{11},S_{12},S_{21},S_{22},S_{31},S_{32}を求める。
0 \le x \le \piのとき、0 \le \sin^3 x \le \sin^2 x \le \sin x
\pi \le x \le 2\piのとき、\sin x \le \sin^3 x \le 0 \le \sin^2 x
であることに注意する。
S_{11}=\int_0^{\pi} (\sin x-\sin ^2 x)dx=\int_0^{\pi} (\sin x+\frac{\cos 2x-1}{2})dx
=[ -\cos x-\frac{-\cos 2x}{4}-\frac{x}{2}]_0^{\pi}=2-\frac{\pi}{2}
S_{21}=\int_0^{\pi} (\sin x-\sin ^3 x)dx=\int_0^{\pi} \sin x\cdot\cos^2 x dx
=-\int_1^{-1} t^2 dt（\cos x=tと置換積分）
=2[ \frac{t^3}{3}]_0^1=\frac{2}{3}
S_{31}=S_{21}-S_{11}=\frac{2}{3}-(2-\frac{\pi}{2})= \frac{3\pi-8}{6}
S_{12}=\int_{\pi}^{2\pi} (\sin ^2 x-\sin x)dx=[ \cos x+\frac{\cos 2x}{4}+\frac{x}{2}]_{\pi}^{2\pi}=2+\frac{\pi}{2}
S_{22}=S_{21}=\frac{2}{3} (∵y=\sin x,y=\sin^3 xは(\pi,0)に関して対称)
S_{32}=S_{12}-S_{22}=(2+\frac{\pi}{2})-\frac{2}{3}= \frac{3\pi+8}{6}
∴S_1=S_{11}+S_{12}=2-\frac{\pi}{2} +2+\frac{\pi}{2}=4
S_2=S_{21}+S_{22}=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}
S_3=\frac{3\pi-8}{6}+\frac{3\pi+8}{6}=\pi
これより、
Sの取りうる値は、0,\frac{4}{3},\pi,4のいずれかである。・・・（答）
(b)
1回目の目をX,2回目の目をYとする。
P(S=0)
=P \{ (X=1,2 \, and \, Y=1,2) or (X=3,4,5 \, and \, Y=3,4,5)
or (X=6 \, and \, Y=6) \}
=(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{1}{36}=\frac{7}{18}・・・（答）
(c)
P(S=\frac{4}{3})=P(S=S_2)
=P \{ (X=1,2 \, and \,Y=6) or (X=6 \, and \, Y=1,2)}
=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{9}
P(S=\pi)=P(S=S_3)
=P \{ (X=3,4,5 \, and \,Y=6) or (X=6 \, and \, Y=3,4,5)}
=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}
P(S=4)=P(S=S_1)
=P \{ (X=1,2 \, and \,Y=3,4,5) or (X=3,4,5 \, and \, Y=1,2)}
=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}
∴求める期待値E(S)は、
E(S)=0\cdot\frac{7}{18}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{9}+\pi\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{3}=\frac{80+9\pi}{54}・・・（答）