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三角関数

（問題）
1辺の長さが1の正方形\rm{ABCD}がある。
\rm{AB}上に点\rm{P}をとり、\rm{P}を中心とし、
\rm{CD}に接する半径1の円を描きそれと\rm{AD,BC}の交点をそれぞれ\rm{Q,R}とする。
∠\rm{QPR}の取りうる値の範囲を求めよ。
ただし、
\rm{P=A}のときは\rm{Q=D,R=B}とし、
\rm{P=B}のときは\rm{Q=D,R=B}とする。

（解答）
∠\rm{QPA}=\theta,∠\rm{RPB}=\phiとする。
\rm{QP}=\rm{RP}=1より、\cos\theta+\cos\phi=\rm{AP}+\rm{PB}=1
(左辺)=2\cos(\frac{\theta+\phi}{2})\cos(\frac{\theta-\phi}{2})なので、
\cos(\frac{\theta+\phi}{2})\cos(\frac{\theta-\phi}{2})=\frac{1}{2}
∴\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos(\frac{\theta-\phi}{2}) \le 1
（左の等号が成り立つのは(\theta,\phi)=(\frac{\pi}{2},0),(0,\frac{\pi}{2})のとき、
右の等号が成り立つのは、\theta=\phiのとき）
∴\frac{1}{2} \le \cos(\frac{\theta+\phi}{2}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}
0 \le \theta,\phi \le \frac{\pi}{2}なので、\frac{\pi}{4} \le \frac{\theta+\phi}{2} \le \frac{\pi}{3}
∠\rm{QPR}=\pi-\theta-\phiより、
\frac{\pi}{3} \le∠\rm{QPR}\le\frac{\pi}{2}・・・（答）