■

数列

（問題）a_n=\frac{1}{2}(n-1)nのとき、\sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_kを場合分けすることなく求めよ。
ただし、ガウス記号[]を用いてよい。

（解答）
\sum_{k=1}^{n} a_k
=\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n} k^2 -\sum_{k=1}^{n} k)
=\frac{1}{2}(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -\frac{n(n+1)}{2})
=\frac{n(n+1)(n-1)}{12}

m=[ n/2 ] とおくとき、

\sum_{k=2}^{2m} 2a_k
=\sum_{j=1}^{m} 4j^2 -\sum_{j=1}^{m} 2j
=\frac{2m(m+1)(2m+1)}{3} -m(m+1)
=\frac{m(m+1)(4m-1)}{3}

これらより、
\sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k
=\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=2}^{2m} 2a_k
=\frac{n(n+1)(n-1)}{12}-\frac{[ n/2 ]([ n/2 ]+1)(4[ n/2 ]-1)}{3}・・・（答）