2007-12-07

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三角関数

（問題）
1辺の長さが1の正方形 $\rm{ABCD}$ がある。
$\rm{AB}$ 上に点 $\rm{P}$ をとり、 $\rm{P}$ を中心とし、
$\rm{CD}$ に接する半径1の円を描きそれと $\rm{AD,BC}$ の交点をそれぞれ $\rm{Q,R}$ とする。
∠ $\rm{QPR}$ の取りうる値の範囲を求めよ。
ただし、
$\rm{P=A}$ のときは $\rm{Q=D,R=B}$ とし、
$\rm{P=B}$ のときは $\rm{Q=D,R=B}$ とする。

（解答）
∠ $\rm{QPA}=\theta$ ,∠ $\rm{RPB}=\phi$ とする。
$\rm{QP}=\rm{RP}=1$ より、 $\cos\theta+\cos\phi=\rm{AP}+\rm{PB}=1$
(左辺)= $2\cos(\frac{\theta+\phi}{2})\cos(\frac{\theta-\phi}{2})$ なので、
$\cos(\frac{\theta+\phi}{2})\cos(\frac{\theta-\phi}{2})=\frac{1}{2}$
∴ $\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos(\frac{\theta-\phi}{2}) \le 1$
（左の等号が成り立つのは $(\theta,\phi)=(\frac{\pi}{2},0),(0,\frac{\pi}{2})$ のとき、
右の等号が成り立つのは、 $\theta=\phi$ のとき）
∴ $\frac{1}{2} \le \cos(\frac{\theta+\phi}{2}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$
$0 \le \theta,\phi \le \frac{\pi}{2}$ なので、 $\frac{\pi}{4} \le \frac{\theta+\phi}{2} \le \frac{\pi}{3}$
∠ $\rm{QPR}=\pi-\theta-\phi$ より、
$\frac{\pi}{3} \le$ ∠ $\rm{QPR}\le\frac{\pi}{2}$ ・・・（答）

2007-12-04

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積分

（問題）
1つのサイコロを投げて $n$ の目が出たら
曲線 $y=(\sin x)^{[ n/3 ] +1}(0 \le x \le 2\pi)$ を描く。
このサイコロを2回投げて描かれる2つの曲線で囲まれた部分の面積を $S$ とする。ただし、2つの曲線が同じときは、 $S=0$ とし、 $[ a ]$ は $a$ を超えない最大の整数を表すものとする。このとき次の問いに答えよ。
(a) $S$ の取りうる値を求めよ。
(b) $S=0$ となる確率を求めよ。
(c) $S$ の期待値を求めよ。

（解答）
(a) $[ n/3 ] +1$ の取りうる値は、1,2,3のいずれかであるので、
$S$ の取りうる値は、 $0,S_1=S_{11}+S_{12},S_2=S_{21}+S_{22},S_3=S_{31}+S_{32}$ のいずれかである。
ここで、
$S_{11} : y=\sin x$ と $y=\sin ^2 x(0 \le x \le \pi)$ で囲まれた部分の面積
$S_{12} : y=\sin x$ と $y=\sin ^2 x(\pi \le x \le 2\pi)$ で囲まれた部分の面積
$S_{21} : y=\sin x$ と $y=\sin ^3 x(0 \le x \le \pi)$ で囲まれた部分の面積
$S_{22} : y=\sin x$ と $y=\sin ^3 x(\pi \le x \le 2\pi)$ で囲まれた部分の面積
$S_{31} : y=\sin ^2 x$ と $y=\sin ^3 x(0 \le x \le 2\pi)$ で囲まれた部分の面積
$S_{32} : y=\sin ^2 x$ と $y=\sin ^3 x(0 \le x \le 2\pi)$ で囲まれた部分の面積
である。
以下、 $S_{11},S_{12},S_{21},S_{22},S_{31},S_{32}$ を求める。
$0 \le x \le \pi$ のとき、 $0 \le \sin^3 x \le \sin^2 x \le \sin x$
$\pi \le x \le 2\pi$ のとき、 $\sin x \le \sin^3 x \le 0 \le \sin^2 x$
であることに注意する。
$S_{11}=\int_0^{\pi} (\sin x-\sin ^2 x)dx=\int_0^{\pi} (\sin x+\frac{\cos 2x-1}{2})dx$
$=[ -\cos x-\frac{-\cos 2x}{4}-\frac{x}{2}]_0^{\pi}=2-\frac{\pi}{2}$
$S_{21}=\int_0^{\pi} (\sin x-\sin ^3 x)dx=\int_0^{\pi} \sin x\cdot\cos^2 x dx$
$=-\int_1^{-1} t^2 dt$ （ $\cos x=t$ と置換積分）
$=2[ \frac{t^3}{3}]_0^1=\frac{2}{3}$
$S_{31}=S_{21}-S_{11}=\frac{2}{3}-(2-\frac{\pi}{2})= \frac{3\pi-8}{6}$
$S_{12}=\int_{\pi}^{2\pi} (\sin ^2 x-\sin x)dx=[ \cos x+\frac{\cos 2x}{4}+\frac{x}{2}]_{\pi}^{2\pi}=2+\frac{\pi}{2}$
$S_{22}=S_{21}=\frac{2}{3}$ (∵ $y=\sin x,y=\sin^3 x$ は $(\pi,0)$ に関して対称)
$S_{32}=S_{12}-S_{22}=(2+\frac{\pi}{2})-\frac{2}{3}= \frac{3\pi+8}{6}$
∴ $S_1=S_{11}+S_{12}=2-\frac{\pi}{2} +2+\frac{\pi}{2}=4$
$S_2=S_{21}+S_{22}=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$
$S_3=\frac{3\pi-8}{6}+\frac{3\pi+8}{6}=\pi$
これより、
$S$ の取りうる値は、 $0,\frac{4}{3},\pi,4$ のいずれかである。・・・（答）
(b)
1回目の目を $X$ ,2回目の目を $Y$ とする。
$P(S=0)$
$=P \{ (X=1,2 \, and \, Y=1,2) or (X=3,4,5 \, and \, Y=3,4,5)$
$or (X=6 \, and \, Y=6) \}$
$=(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{1}{36}=\frac{7}{18}$ ・・・（答）
(c)
$P(S=\frac{4}{3})=P(S=S_2)$
$=P \{ (X=1,2 \, and \,Y=6) or (X=6 \, and \, Y=1,2)}$
$=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$
$P(S=\pi)=P(S=S_3)$
$=P \{ (X=3,4,5 \, and \,Y=6) or (X=6 \, and \, Y=3,4,5)}$
$=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$
$P(S=4)=P(S=S_1)$
$=P \{ (X=1,2 \, and \,Y=3,4,5) or (X=3,4,5 \, and \, Y=1,2)}$
$=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
∴求める期待値 $E(S)$ は、
$E(S)=0\cdot\frac{7}{18}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{9}+\pi\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{3}=\frac{80+9\pi}{54}$ ・・・（答）

2007-12-03

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平面ベクトル

（問題）
$\rm{A,B,C,D}$ を平面上の異なる4点とする。
(1)同じ平面上の点 $\rm{P}$ が下記関係を満足するとき $\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}$ と $\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}$ の内積を求めよ。
$|\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}+\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}|^2=|\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}|^2+|\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}|^2$
(2)上記の関係を満たす点 $\rm{P}$ の軌跡はどのような図形か
(3) (2)で求めた図形が1点のみからなるとき、四角形 $\rm{ACBD}$ は平行四辺形であることを示せ。

（解答）
(1) $\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}=\vec{a},\vec{\rm{PC}}+\vec{\rm{PD}}=\vec{b}$ とおく。
もとの関係式は、
$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2$
とかける。
これより、
$|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2$
なので、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ・・・（答）
(2)
$\rm{AB}$ 及び $\rm{CD}$ の中点をそれぞれ $\rm{M,N}$ とし、原点を $\rm{O}$ とすると、
$\vec{\rm{OA}}+\vec{\rm{OB}}=2\vec{\rm{OM}}$
$\vec{\rm{OC}}+\vec{\rm{OD}}=2\vec{\rm{ON}}$
なので、
$\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}=\vec{\rm{OA}}+\vec{\rm{OB}}+2\vec{\rm{PO}}=2\vec{\rm{OM}}+2\vec{\rm{PO}}=2\vec{\rm{PM}}$
$\vec{\rm{PA}}+\vec{\rm{PB}}=2\vec{\rm{PN}}$
これと上記(1)の結果より、
$\vec{\rm{PM}}\cdot\vec{\rm{PN}}=0$
∴ $\rm{PM}\bot\rm{PN}$
つまり、 $\rm{P}$ は、 $\rm{AB}$ の中点 $\rm{M}$ と $\rm{CD}$ の中点 $\rm{N}$ を直径とする円周になる。・・・（答）
(3)上記(2)の図形が1点のみからなるので $\rm{M=N}$
つまり、 $\rm{ACBD}$ は対角線 $\rm{AB}$ と $\rm{CD}$ がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形
・・・（証終）

最後の部分については、例えば
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%BA%E5%BD%A2
をご参照ください。

2007-11-30

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一次関数

（問題）
∠ $\rm{A}=90^\circ$ である直角三角形 $\rm{ABC}$ がある。
頂点 $\rm{B,C}$ をそれぞれ始点として、辺 $\rm{BC}$ に垂直な半直線 $l,m$ を頂点 $\rm{A}$ のある側にひく。
次に辺 $\rm{BC}$ 上の任意の点 $\rm{P}$ より辺 $\rm{AB,AC}$ に垂線をひき、この延長が $l,m$ と交わる点をそれぞれ $\rm{Q,R}$ とする。
(1) $\rm{Q,A,R}$ が一直線上にあることを示せ。
(2)台形 $\rm{BCRQ}$ の面積が三角形 $\rm{ABC}$ の面積の2倍になるとき、この台形の形を求めよ。ただし、 $\rm{AB} \ne \rm{AC}$ とする。

（解答）
(1)

図のように、 $\rm{A}$ を原点とし、 $\rm{AB}$ を $x$ 軸、 $\rm{AC}$ を $y$ 軸にとる。
$\rm{AC}=1$ とし、 $\rm{AB}=b(b>0,b \ne 1)$ とする。
このとき、 $l,m$ の式はそれぞれ、 $y=bx-b^2$ 及び $y=bx+1$ となる。
$\rm{P}$ の座標を[tex:(bt,1-t)(0

2007-11-28

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数列

（問題） $a_n=\frac{1}{2}(n-1)n$ のとき、 $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k$ を場合分けすることなく求めよ。
ただし、ガウス記号[]を用いてよい。

（解答）
$\sum_{k=1}^{n} a_k$
$=\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n} k^2 -\sum_{k=1}^{n} k)$
$=\frac{1}{2}(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -\frac{n(n+1)}{2})$
$=\frac{n(n+1)(n-1)}{12}$

$m=[ n/2 ]$ とおくとき、

$\sum_{k=2}^{2m} 2a_k$
$=\sum_{j=1}^{m} 4j^2 -\sum_{j=1}^{m} 2j$
$=\frac{2m(m+1)(2m+1)}{3} -m(m+1)$
$=\frac{m(m+1)(4m-1)}{3}$

これらより、
$\sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k$
$=\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=2}^{2m} 2a_k$
$=\frac{n(n+1)(n-1)}{12}-\frac{[ n/2 ]([ n/2 ]+1)(4[ n/2 ]-1)}{3}$ ・・・（答）